berührt die Spezialgebiete

• Mathematik
  • Abstrakte Algebra
  • Gruppentheorie
  • Zahlentheorie
  • Lineare Algebra
  • Analysis

ist Spezialfall von

• additive Abelsche Gruppe
• multiplikative Abelsche Gruppe
• kommutativer Ring
• Schiefkörper
• Vektorraum

umfasst als Spezialfälle

• endlicher Körper
• p-adische Zahlen
• rationale Zahlen
  • reelle Zahlen
    • komplexe Zahlen

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + und * ist ein Körper, wenn gilt:

• (M,+) ist eine Abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 0 genannt wird;
• (M{0},*) ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 1 genannt wird;
• es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

Diese Definition sorgt dafür, dass Multiplikation und Addition in der „gewohnten“ Weise funktionieren. Das Inverse von a bzgl. der Addition ist -a und wird das Negative von a genannt, das Inverse von a bzgl. der Multiplikation ist a^-1 und wird der Kehrwert oder das Inverse von a genannt. Da die 0 keinen Kehrwert hat, wird sie aus der multiplikativen Gruppe herausgenommen.

Jeder Körper ist ein Ring. Die Merkmale der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn ca. die Kommutativität der multiplikativen Gruppe fehlt, hat man einen Schiefkörper.

Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper).

Bekannte Beispiele für Körper sind die Menge der rationalen Zahlen mit + und *, die Menge der reellen Zahlen mit + und * oder die Menge der komplexen Zahlen mit + und *.

Kompliziertere Beispiele sind endliche Körper und die p-adischen Zahlen.

Ein Gegenbeispiel bildet die Menge Z der ganzen Zahlen mit + und *. (Z,+,*) ist kein Körper. Zwar ist (Z,+) eine Gruppe (neutral ist die 0, das Inverse zu a ist -a), aber (Z{0},*) ist keine Gruppe. Es gibt zwar das Neutralelement 1, aber außer zu 1 und -1 gibt es keine Inversen (z.B. 3^-1 = 1/3 liegt nicht in Z). Die ganzen Zahlen bilden einen Integritätsring, dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge M endlich ist.

Die Nennungen 0, 1, +, * verlieren dann ihre gewohnte Bedeutung, und man kann sie auch anders nennen, zu dem Beispiel n statt 0, e statt 1, o statt +, x statt *. Da ein Körper immerhin die Null (n, Neutrales der Addition) und die Eins (e, Neutrales der Multiplikation) enthalten muss, kann er nicht weniger als zwei Elemente haben (da 1 ein Element von M{0} ist, sind 0 und 1 wirklich verschieden).

Der kleinste Körper besteht tatsächlich ca. aus diesen zwei Elementen:

Grundmenge ist M = {n,e}. Die Verknüpfungen o und x sind durch Verknüpfungstabellen definiert:

Addition:

Multiplikation:

Man genannt diesen Körper (M,o,x) auch als F₂ (von engl. field).

Jeder Restklassenring Z/pZ modulo einer Primzahl p ist ein endlicher Körper, es gibt aber noch andere.

Ein endlicher Körper hat stets exakt pⁿ Elemente, wobei p eine (beliebige) Primzahl ist, und n eine natürliche Zahl. Zwei endliche Körper mit gleichvielen Elementen sind stets zueinander isomorph. Zusätzlich gilt, dass für jede Primzahlpotenz pⁿ auch tatsächlich ein (bis auf Isomorphie eindeutiger) endlicher Körper existiert.==Schiefkörper==

Fehlt einer Struktur zu den Körper Merkmale ca. die Kommutativität der Multiplikation, so spricht man von einem Schiefkörper. Ein Beispiel dafür bildet der Schiefkörper der Quaternionen.Verwandte Themen

• Charakteristik
• Vektorraum